olemus
arv, mille saab püsialusega arvusüsteemis esitada lõpliku või lõpmatu diskreetesitusega

formaalselt
Dedekindi lõigetena
ratsionaalarvudest koosnevate hulkade paar (L,R) järgmiste omadustega:
(i) kui q < p ja p on hulga L element, siis q on hulga L element
(ii) kui q < p ja q on hulga R element, siis p on hulga R element
(iii) iga ratsionaalarv on kas hulga L või hulga R (kuid mitte mõlema) element
(iv) hulgas L ei ole suurimat elementi
jadade faktorhulgana
reaalarvude hulka defineeritakse ka kui kõigi ratsionaalarvuliste Cauchy jadade hulga faktorhulka sellise ekvivalentsi järgi, mis loeb jadasid väärtustega a₀, a₁, a₂, ... ja b₀, b₁, b₂, ... ekvivalentseteks kui vahede jada a₀ - b₀, a₁ - b₁, a₂ - b₂, ... on nulljada

null
Null \(0\) on ratsionaalarvude nulljada ekvivalentsiklass

üks
Üks \(1\) on ratsionaalarvuks \(1\) koonduva ratsionaalarvude jada ekvivalentsiklass

tehted
liitmine Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) ja \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) esitatud reaalavude \(a\) ja \(b\) summa \(a+b\) on Cauchy jadaga \(a_0 + b_0, a_1 +b_1, \ldots\) esitatud reaalarv

korrutamine Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) ja \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) esitatud reaalavude \(a\) ja \(b\) korrutis \(a\cdot b\) on Cauchy jadaga \(a_0 \cdot b_0, a_1 \cdot b_1, \ldots\) esitatud reaalarv

pöördarv Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) esitatud reaalarvu \(a\neq 0\) pöördarv \(\frac{1}{a}\) on Cauchy jada \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) ekvivalentsiklass, kus $$b_i = \begin{cases}\frac{1}{a_i} & \text{kui $a_i\neq 0$}\\ 0 & \text{kui $a_i=0$}\end{cases}$$
Jada \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) on Cauchy jada, sest \(a\neq 0\) tõttu on jadas \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) vaid lõplik arv nulle

jagamine Reaalarvude \(a\) ja \(b\neq 0\) jagatis \(\frac{a}{b}\) on korrutis \(a\cdot\frac{1}{b}\)

astendamine (naturaalarvuga) Cauchy jadaga \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) esitatud reaalarvu \(a\) aste \(a^n\) (kus \(n\in\mathbb{N}\)) on Cauchy jada \(a^n_0, a^n_1, a^n_2, \ldots \) ekvivalentsiklass

astendamine (täisarvuga) Reaalarvu \(a\neq 0\) aste \(a^z\) (kus \(z\in\mathbb{Z}\)) on reaalarv \(a^n\) kui \(z\) kui täisarv on ekvivalentne naturaalarvude paariga \((n,0)\) ja reaalarv \(\left(\frac{1}{a}\right)^n\) kui \(z\) kui täisarv on ekvivalentne naturaalarvude paariga \((0,n)\)

ülevaateid
https://www.ipracticemath.com/learn/realnumber

http://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html

vt ka
- imaginaararv
- kompleksarv