AKIT
English Eesti

real number

reaalarv

olemus
arv, mille saab püsialusega arvusüsteemis esitada lõpliku või lõpmatu diskreetesitusega

formaalselt
Dedekindi lõigetena
ratsionaalarvudest koosnevate hulkade paar (L,R) järgmiste omadustega:
(i) kui q < p ja p on hulga L element, siis q on hulga L element
(ii) kui q < p ja q on hulga R element, siis p on hulga R element
(iii) iga ratsionaalarv on kas hulga L või hulga R (kuid mitte mõlema) element
(iv) hulgas L ei ole suurimat elementi
jadade faktorhulgana
reaalarvude hulka defineeritakse ka kui kõigi ratsionaalarvuliste Cauchy jadade hulga faktorhulka sellise ekvivalentsi järgi, mis loeb jadasid väärtustega a0, a1, a2, ... ja b0, b1, b2, ... ekvivalentseteks kui vahede jada a0 - b0, a1 - b1, a2 - b2, ... on nulljada

null
Null \(0\) on ratsionaalarvude nulljada ekvivalentsiklass

üks
Üks \(1\) on ratsionaalarvuks \(1\) koonduva ratsionaalarvude jada ekvivalentsiklass

tehted
liitmine Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) ja \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) esitatud reaalavude \(a\) ja \(b\) summa \(a+b\) on Cauchy jadaga \(a_0 + b_0, a_1 +b_1, \ldots\) esitatud reaalarv

korrutamine Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) ja \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) esitatud reaalavude \(a\) ja \(b\) korrutis \(a\cdot b\) on Cauchy jadaga \(a_0 \cdot b_0, a_1 \cdot b_1, \ldots\) esitatud reaalarv

pöördarv Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) esitatud reaalarvu \(a\neq 0\) pöördarv \(\frac{1}{a}\) on Cauchy jada \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) ekvivalentsiklass, kus $$b_i = \begin{cases}\frac{1}{a_i} & \text{kui $a_i\neq 0$}\\ 0 & \text{kui $a_i=0$}\end{cases}$$
Jada \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) on Cauchy jada, sest \(a\neq 0\) tõttu on jadas \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) vaid lõplik arv nulle

jagamine Reaalarvude \(a\) ja \(b\neq 0\) jagatis \(\frac{a}{b}\) on korrutis \(a\cdot\frac{1}{b}\)

astendamine (naturaalarvuga) Cauchy jadaga \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) esitatud reaalarvu \(a\) aste \(a^n\) (kus \(n\in\mathbb{N}\)) on Cauchy jada \(a^n_0, a^n_1, a^n_2, \ldots \) ekvivalentsiklass

astendamine (täisarvuga) Reaalarvu \(a\neq 0\) aste \(a^z\) (kus \(z\in\mathbb{Z}\)) on reaalarv \(a^n\) kui \(z\) kui täisarv on ekvivalentne naturaalarvude paariga \((n,0)\) ja reaalarv \(\left(\frac{1}{a}\right)^n\) kui \(z\) kui täisarv on ekvivalentne naturaalarvude paariga \((0,n)\)

ülevaateid
https://www.ipracticemath.com/learn/realnumber

http://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html

vt ka
- imaginaararv
- kompleksarv