real number
reaalarv
olemus
arv, mille saab püsialusega arvusüsteemis
esitada lõpliku või lõpmatu diskreetesitusega
formaalselt
Dedekindi lõigetena
ratsionaalarvudest koosnevate hulkade paar (L,R) järgmiste omadustega:
(i) kui q < p ja p on hulga L element,
siis q on hulga L element
(ii) kui q < p ja q on hulga R element,
siis p on hulga R element
(iii) iga ratsionaalarv on kas hulga L või hulga R
(kuid mitte mõlema) element
(iv) hulgas L ei ole suurimat elementi
jadade faktorhulgana
reaalarvude hulk on
ratsionaalarvuliste Cauchy jadade hulga
faktorhulk sellise ekvivalentsi järgi, mis
loeb jadasid väärtustega
a0, a1, a2, ... ja b0, b1, b2, ... ekvivalentseteks, kui vahede jada a0 - b0, a1 - b1, a2 - b2, ... on nulljada
null
\(0\) on ratsionaalarvude nulljada ekvivalentsiklass
üks
\(1\) on ratsionaalarvuks \(1\) koonduva ratsionaalarvude jada ekvivalentsiklass
tehted
liitmine
Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) ja \(b_0, b_1, b_2, \ldots \)
esitatud reaalavude \(a\) ja \(b\) summa \(a+b\) on
Cauchy jadaga \(a_0 + b_0, a_1 +b_1, \ldots\) esitatud reaalarv
korrutamine
Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) ja \(b_0, b_1, b_2, \ldots \)
esitatud reaalavude \(a\) ja \(b\) korrutis \(a\cdot b\) on
Cauchy jadaga \(a_0 \cdot b_0, a_1 \cdot b_1, \ldots\) esitatud reaalarv
pöördarv
Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) esitatud
reaalarvu \(a\neq 0\) pöördarv \(\frac{1}{a}\) on
Cauchy jada \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) ekvivalentsiklass, kus $$b_i = \begin{cases}\frac{1}{a_i} & \text{kui $a_i\neq 0$}\\ 0 & \text{kui $a_i=0$}\end{cases}$$
jada \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) on Cauchy jada, sest \(a\neq 0\) tõttu on jadas \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) vaid lõplik arv nulle
jagamine
Reaalarvude \(a\) ja \(b\neq 0\) jagatis \(\frac{a}{b}\) on korrutis \(a\cdot\frac{1}{b}\)
astendamine (naturaalarvuga)
Cauchy jadaga \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) esitatud
reaalarvu \(a\) aste \(a^n\) (kus \(n\in\mathbb{N}\)) on Cauchy jada \(a^n_0, a^n_1, a^n_2, \ldots \) ekvivalentsiklass
astendamine (täisarvuga)
Reaalarvu \(a\neq 0\) aste \(a^z\) (kus \(z\in\mathbb{Z}\)) on reaalarv \(a^n\) kui \(z\) kui täisarv on ekvivalentne
naturaalarvude paariga \((n,0)\) ja reaalarv \(\left(\frac{1}{a}\right)^n\) ,
kui \(z\) täisarvuna on ekvivalentne
naturaalarvude paariga \((0,n)\)
ülevaateid
https://dr282zn36sxxg.cloudfront.net/datastreams/f-d%3A1393ce072aa397c01073fd55bbf51955245e615407cf2329b2fffe4e%2BCOVER_PAGE%2BCOVER_PAGE.1
https://www.ipracticemath.com/learn/realnumber
http://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html
https://www.lsco.edu/learningcenter/RealNumberChart.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number
vt ka
- imaginaararv
- kompleksarv