real number
reaalarv
olemus
arv, mille saab püsialusega arvusüsteemis esitada lõpliku või lõpmatu diskreetesitusega
formaalselt
Dedekindi lõigetena
ratsionaalarvudest koosnevate hulkade paar (L,R) järgmiste omadustega:
(i) kui q < p ja p on hulga L element, siis q on hulga L element
(ii) kui q < p ja q on hulga R element, siis p on hulga R element
(iii) iga ratsionaalarv on kas hulga L või hulga R (kuid mitte mõlema) element
(iv) hulgas L ei ole suurimat elementi
jadade faktorhulgana
reaalarvude hulka defineeritakse ka kui kõigi ratsionaalarvuliste Cauchy jadade hulga faktorhulka sellise ekvivalentsi järgi, mis loeb jadasid väärtustega a0, a1, a2, ... ja b0, b1, b2, ... ekvivalentseteks kui vahede jada a0 - b0, a1 - b1, a2 - b2, ... on nulljada
null
Null \(0\) on ratsionaalarvude nulljada ekvivalentsiklass
üks
Üks \(1\) on ratsionaalarvuks \(1\) koonduva ratsionaalarvude jada ekvivalentsiklass
tehted
liitmine Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) ja \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) esitatud reaalavude \(a\) ja \(b\) summa \(a+b\) on Cauchy jadaga \(a_0 + b_0, a_1 +b_1, \ldots\) esitatud reaalarv
korrutamine Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) ja \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) esitatud reaalavude \(a\) ja \(b\) korrutis \(a\cdot b\) on Cauchy jadaga \(a_0 \cdot b_0, a_1 \cdot b_1, \ldots\) esitatud reaalarv
pöördarv Cauchy jadadega \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) esitatud reaalarvu \(a\neq 0\) pöördarv \(\frac{1}{a}\) on Cauchy jada \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) ekvivalentsiklass, kus $$b_i = \begin{cases}\frac{1}{a_i} & \text{kui $a_i\neq 0$}\\ 0 & \text{kui $a_i=0$}\end{cases}$$
Jada \(b_0, b_1, b_2, \ldots \) on Cauchy jada, sest \(a\neq 0\) tõttu on jadas \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) vaid lõplik arv nulle
jagamine Reaalarvude \(a\) ja \(b\neq 0\) jagatis \(\frac{a}{b}\) on korrutis \(a\cdot\frac{1}{b}\)
astendamine (naturaalarvuga) Cauchy jadaga \(a_0, a_1, a_2, \ldots \) esitatud reaalarvu \(a\) aste \(a^n\) (kus \(n\in\mathbb{N}\)) on Cauchy jada \(a^n_0, a^n_1, a^n_2, \ldots \) ekvivalentsiklass
astendamine (täisarvuga) Reaalarvu \(a\neq 0\) aste \(a^z\) (kus \(z\in\mathbb{Z}\)) on reaalarv \(a^n\) kui \(z\) kui täisarv on ekvivalentne naturaalarvude paariga \((n,0)\) ja reaalarv \(\left(\frac{1}{a}\right)^n\) kui \(z\) kui täisarv on ekvivalentne naturaalarvude paariga \((0,n)\)
ülevaateid
https://www.ipracticemath.com/learn/realnumber
http://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html
https://www.lsco.edu/learningcenter/RealNumberChart.pdf
vt ka
- imaginaararv
- kompleksarv