AKIT
English Eesti

complex number

kompleksarv

olemus
arv kujul \(a + bi\), kus
- a ja b on reaalarvud
- \(i\) on imaginaarühik: \(i^2 = -1\), st \(i = \sqrt{-1}\)

formaalselt
kompleksarv \(z\) on reaalarvude paar \((a,b)\)

näiteks
- reaalarvu \(a\) esitab paar \((a, 0)\)
- imaginaarühikut \(i\) esitab paar \((0,1)\)

tehted
liitmine \((a,b) + (c,d) = (a+b, c+d)\)

korrutamine \((a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc)\)
näiteks \(i^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (-1, 0) = -1\)

pöördarv \(\frac{1}{z} = \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)\) kui \(z=(a,b)\)

jagamine \( \frac{z_1}{z_2} = z_1\cdot \frac{1}{z_2} \)

astendamine (naturaalarvuga):
\(z^n = z\cdot z^{n-1}\) kui \(n>0\) ja \(z^0 = (1,0)=1\)

astendamine (negatiivse täisarvuga): \(z^{-n} = \frac{1}{z^n}\)

eksponent \(e^{z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\).

eksponentkuju kui \(z=(a,b)\), siis \(z = r \cdot e^{i\varphi}\), kus
\(r=\sqrt{a^2 + b^2}\) ja \(\varphi = 2\arctan \frac{b}{r + a}\) kui \(b\neq 0\) või \(a>0\).
Kui \(b=0\) ja \(a < 0\), siis \(\varphi=\pi\).
Juhul \(a=b=0\) ei ole defineeritud.

logaritm \(\mathrm{Ln}(z) = \ln r + i\varphi \) kui \(z = r \cdot e^{i\varphi}\),
kus \(\varphi \) on määratud \(2\pi\) kordse täpsusega ja seega on logaritmil üldjuhul lõpmata palju väärtusi

astendamine kompleksarvuga \(z^w = e^{w\cdot \mathrm{Ln}(z)}\).
Astmel võib \(\mathrm{Ln}\) mitmesuse tõttu olla lõpmata palju väärtusi

ülevaateid
https://www.slideshare.net/itutor/complex-numbers-25011257

https://www.slideshare.net/nangsaruni/complex-number-28182618

http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html

https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex_1.pdf

http://www.numbertheory.org/book/cha5.pdf

rakendusi
http://visualizingmathsandphysics.blogspot.com.ee/2013/06/complex-numbers.html

https://www.ukessays.com/essays/mathematics/application-of-complex-number-in-engineering.php

https://www.scribd.com/doc/56456183/Application-of-Complex-Number-in-Engineering

http://www.askamathematician.com/2010/03/q-what-are-complex-numbers-used-for/

https://www.youtube.com/watch?v=tLqsifmQzOY