olemus
üks matemaatika alusobjekte,
sõltuvalt kontekstist
(a) üks arvudest 1, 2, 3, ...
(b) üks arvudest 0, 1, 2, 3, ...:
Leopold Kronecker:
"Naturaalarvud lõi Jumal,
kõik muu on inimese töö."

aksiomaatika
Giuseppe Peano aksioomid, 1889:
(i) järglane
- igal naturaalarvul n on järglane n⁺
(ii) injektiivsus
- kui n⁺ = m⁺, siis n = m ,
- erinevate naturaalarvude
järglased on erinevad
(iii) null
- ainult üks naturaalarv, null (0)
ei ole ühegi naturaalarvu järglane
(iv) induktsioon:
KUI
mingi omaduse P korral kehtivad
- induktsiooni baas P(0),
st arvul 0 on omadus P , ning
- induktsiooni samm
∀m: P(m) → P(m⁺), st
kui naturaalarvul on omadus P,
on see ka ta järglasel,
SIIS
kehtib ka
- induktsiooni väide
∀n: P(n), st
kõigil naturaalarvudel on omadus P

tehted
defineeritakse induktiivselt,
järglase mõiste kaudu
liitmine
n+0 = n ja n + m⁺ = (n+m)⁺
korrutamine
n · 0 = 0 ja n · m⁺ = n · m + n
astendamine
n⁰ = 1 ja n^m+ = n^m · n
NB: Definitsiooni järgi 0⁰ = 1,
kuid enamasti eeldab n^m , et
n ja m ei ole korraga nullid.

järjestus
defineeritakse liitmistehte kaudu:
\(n\le m\) kui m = n + k
mingi naturaalarvu k korral
n < m kui \(n\le m\) ja \(n\neq m\)

hulgateoorias
konstrueeritakse naturaalarvud
tühjast hulgast {} nii:
0 = {}
1 = {0} = {{}}
2 = {0, 1} = {{}, {{}}}
...
n+1 = {0, 1, 2, ... , n}

ülevaateid
https://www.math10.com/en/algebra/numbers.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers

http://www.rbangell.com/pdf/a-theory-of-natural-numbers.pdf

vt ka
- täisarv