AKIT
English Eesti

Lebesgue integral

Lebesgue'i integraal

olemus
reaalmuutuja funktsiooni \(f\) Lebesgue'i integraal \(\int_D f d\mu \) üle mõõtuva hulga \(D\subseteq \mathbb{R} \) on reaalarv, mis defineeritakse järgmiselt:

(i) Kui
- \(f(x)= 1_S(x) = \begin{cases} 1 &\text{if $ x\in S $ } \\ 0 &\text{if $ x\not\in S$} \end{cases} \)
- \(\mu(S) \) on hulga \(S\) Lebesgue'i mõõt
siis
$$\int_D f d\mu = \mu (S) $$
(ii) Kui \(f\) on tükati konstantne, st
- \(f(x)=\sum_{i=1}^n r_i 1_{S_i}(x)\)
- \(S_i\) on mõõtuvad
- \(\mu(S_i)<\infty\) kui \(r_i\neq 0\),
siis
$$\int_D f d\mu = \sum_{i=1}^n r_i \mu (S_i) $$
(iii) Kui \(f=\sum_{i=1}^n r_i 1_{S_i} \) on tükati konstantne
ja \(D\) on mõõtuv hulk, siis $$\int_D f d\mu = \sum_{i=1}^n r_i \mu (D\cap S_i) $$
(iv) Kui \(f\) on mittenegatiivne mõõtuv funktsioon, siis
$$\int_D f d\mu =\sup_{s}\left\{\int_D s d\mu\colon\!\! \begin{array}{l} \forall x \, 0\le s(x)\le f(x) \\ \text{\(s\) tükati konstantne}\end{array} \!\! \right\} $$
(v) Kui
- \(f\) on mõõtuv funktsioon
- \(f(x)=f^+(x)-f^-(x)\)
- \(f^+(x)=\begin{cases} f(x) &\text{if $ f(x)\ge 0 $ } \\ 0 &\text{if $ f(x)< 0$}\end{cases}\)
- \(f^-(x)=\begin{cases} -f(x) &\text{if $ f(x)< 0 $ } \\ 0 &\text{if $ f(x)\ge 0$}\end{cases}\)
- kas \(\int_Df^+ d\mu<\infty\) või \(\int_Df^- d\mu<\infty\),
siis
$$\int_D f d\mu = \int_Df^+ d\mu - \int_Df^- d\mu $$

ülevaateid
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Lebesgue_integral

rakendusi
https://math.stackexchange.com/questions/53121/how-do-people-apply-the-lebesgue-integration-theory

https://www.quora.com/What-are-some-real-life-applications-of-Lebesgue-Integration

vt ka
- integraal
- Lebesgue'i mõõt
- Riemanni integraal