olemus
reaalmuutuja funktsiooni f Lebesgue'i integraal ∫Dfdμ üle mõõtuva hulga D⊆R on reaalarv, mis defineeritakse järgmiselt:
(i) Kui
f(x)=1S(x)={10if x∈S if x∈S ja
μ(S) on hulga S Lebesgue'i mõõt , siis
∫Dfdμ=μ(S)
(ii) Kui f on tükati konstantne, st
f(x)=∑i=1nri1Si(x) ja Si on mõõtuvad ja
μ(Si)<∞ kui ri=0, siis
∫Dfdμ=i=1∑nriμ(Si)
(iii) Kui f=∑i=1nri1Si on tükati konstantne
ja D on mõõtuv hulk, siis ∫Dfdμ=i=1∑nriμ(D∩Si)
(iv) Kui f on mittenegatiivne mõõtuv funktsioon, siis
∫Dfdμ=ssup{∫Dsdμ:∀x0≤s(x)≤f(x)s tu¨kati konstantne}
(v) Kui
- f on mõõtuv funktsioon
- f(x)=f+(x)−f−(x)
- f+(x)={f(x)0if f(x)≥0 if f(x)<0
- f−(x)={−f(x)0if f(x)<0 if f(x)≥0
- kas ∫Df+dμ<∞ või ∫Df−dμ<∞, siis
∫Dfdμ=∫Df+dμ−∫Df−dμ
Encyclopedia Britannica:
way of extending the concept of area inside a curve to include functions that do not have graphs representable pictorially
ülevaateid
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integration
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Lebesgue_integral
https://towardsdatascience.com/lebesgue-measure-and-integration-64f5c45d7888
https://www.quora.com/What-did-the-Lebesgue-integral-do-for-computer-science
rakendusi
https://math.stackexchange.com/questions/53121/how-do-people-apply-the-lebesgue-integration-theory
https://www.quora.com/What-are-some-real-life-applications-of-Lebesgue-Integration
vt ka
- integraal
- Lebesgue'i mõõt
- Riemanni integraal