olemus
arv kujul \(a + bi\), kus
a ja b on reaalarvud
\(i\) on imaginaarühik: \(i^2 = -1\), st \(i = \sqrt{-1}\)
formaalselt:
kompleksarv \(z\) on reaalarvude paar \((a,b)\)
näide:
reaalarvu \(a\) esitab paar \((a, 0)\),
imaginaarühikut \(i\) esitab paar \((0,1)\)

Wiktionary:
a number of the form a + bi, where a and b are real numbers and i denotes the imaginary unit

tehted
liitmine \((a,b) + (c,d) = (a+b, c+d)\)
korrutamine \((a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc)\)
-- näiteks \(i^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (-1, 0) = -1\)
pöördarv \(\frac{1}{z} = \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right)\) kui \(z=(a,b)\)
jagamine \( \frac{z_1}{z_2} = z_1\cdot \frac{1}{z_2} \)
astendamine naturaalarvuga:
\(z^n = z\cdot z^{n-1}\) kui \(n>0\) ja \(z^0 = (1,0)=1\)
astendamine negatiivse täisarvuga: \(z^{-n} = \frac{1}{z^n}\)
eksponent \(e^{z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\).
eksponentkuju: kui \(z=(a,b)\), siis \(z = r \cdot e^{i\varphi}\), kus
\(r=\sqrt{a^2 + b^2}\) ja \(\varphi = 2\arctan \frac{b}{r + a}\) kui \(b\neq 0\) või \(a>0\).
- kui \(b=0\) ja \(a < 0\), siis \(\varphi=\pi\).
- juhul \(a=b=0\) ei ole defineeritud.
logaritm \(\mathrm{Ln}(z) = \ln r + i\varphi \) kui \(z = r \cdot e^{i\varphi}\),
kus \(\varphi \) on määratud \(2\pi\) kordse täpsusega ja seega on logaritmil üldjuhul lõpmata palju väärtusi
astendamine kompleksarvuga \(z^w = e^{w\cdot \mathrm{Ln}(z)}\).
- astmel võib \(\mathrm{Ln}\) mitmesuse tõttu olla lõpmata palju väärtusi

ülevaateid
https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number

http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html

https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/complex_1.pdf

http://www.numbertheory.org/book/cha5.pdf

rakendusi
http://visualizingmathsandphysics.blogspot.com.ee/2013/06/complex-numbers.html

https://www.ukessays.com/essays/mathematics/application-of-complex-number-in-engineering.php

http://www.askamathematician.com/2010/03/q-what-are-complex-numbers-used-for/

https://www.youtube.com/watch?v=tLqsifmQzOY